欧几里得几何攻略 聊一聊当代几何分支

几何学是数学中最古老的分支之一，主要研究与图形的距离、形状、大小和相对位置有关的空间属性。

当代几何学有许多分支。本文介绍了当代几何学的几个分支。

欧几里得几何

欧几里得几何是经典意义上的几何。因为它模拟了物理世界的空间，所以应用于很多科学领域，比如力学、天文学、结晶学以及很多技术领域，比如工程学、建筑学、大地测量学、空气动力学、航海学。

微分几何

几何学使用微积分工具研究涉及曲率的问题。

几何学利用微积分和线性代数技术研究几何问题。它在物理学、计量经济学和生物信息学中有应用。

尤其是因为阿尔伯特爱因斯坦的广义相对论假设宇宙是弯曲的，所以微分几何对数学物理非常重要。微分几何可以是内部的(意思是它考虑的空间是光滑流形，其几何结构受黎曼度量控制，黎曼度量决定了如何度量每个点附近的距离)，也可以是外部的(研究对象是其中的一部分)。有些环境是平坦的欧几里得空间)。

非欧几何

欧几里得几何并不是唯一被研究的几何学的历史形式。天文学家、占星家和航海家长期以来一直使用球面几何学。

博格利亚、罗巴切夫斯基和高斯的工作为非欧几何的革命性发现奠定了基础。他们证明了普通欧几里得空间只是几何学发展的一种可能性。黎曼关于空间的新概念在爱因斯坦的广义相对论中被证明是至关重要的。黎曼几何认为非常一般的空间定义了长度的概念，是现代几何的支柱。

拓扑

拓扑学是与连续映射的性质有关的领域，可以看作是欧几里德几何的推广。在实践中，拓扑学通常意味着处理空间的大规模属性，如连通性和紧致性。

拓扑学领域在20世纪有了很大的发展。从技术上讲是一种变换几何，其中变换是同胚。【这通常用“拓扑学是橡胶板几何”的形式来表达。拓扑的子域包括几何拓扑、微分拓扑、代数拓扑和一般拓扑。

代数几何

从笛卡尔坐标几何发展而来的代数领域。它经历了周期性的发展，伴随着射影几何、双有理几何、代数族和交换代数的产生和研究。从1950年代后期到1970年代中期，主要由于Jean-Pierre Searle和Alexander Glottick的工作，它经历了重大的基本发展。[110]这导致了计划的引入和对拓扑方法的更多强调，包括各种上同调理论。怀尔斯费马大定理的证明使用了先进的代数几何方法来解决数论中长期存在的问题。

一般来说，代数几何是利用交换代数中的概念来研究几何的，比如多元多项式。它在许多领域都有应用，包括密码学和弦理论。

复几何

复杂几何研究在复杂平面上建模或由复杂平面生成的几何结构的属性。复几何位于微分几何、代数几何和多复变量分析的交叉点，在弦理论和镜像对称中得到了应用。

复几何最早作为一个独特的研究领域出现在黎曼对黎曼曲面的研究中。在20世纪早期，意大利代数几何学派本着黎曼的精神开始了它的工作。现代复几何的处理始于Jean-Pierre Searle的工作，他阐明了复几何与代数几何的关系。复几何的主要研究对象是复流形，复代数簇，复解析变量，全纯向量簇以及这些空间中的连续层。复几何中研究的空间的特殊例子包括黎曼曲面和Carabi-Churn流形，它们在弦理论中有应用。

离散几何

离散几何学包括对各种球形填充物的研究。

离散几何是与凸几何密切相关的一门学科，主要研究点、线、圆等简单几何对象的相对位置。例子包括球体填充、三角剖分、克内塞-保尔森猜想等。

计算几何

几何处理用于操作几何对象的算法及其实现。历史上的重要问题包括旅行推销员问题，最小生成树，隐藏线消除和线性规划。

虽然它是一个年轻的几何领域，但在计算机视觉、图像处理、计算机辅助设计、医学成像等方面都有很多应用。

几何群论

几何群论使用大规模几何技术来研究有限生成群。它与低维拓扑学密切相关。

几何群论通常围绕凯莱图展开，凯莱图是一个群的几何表示。其他重要的主题包括拟等距，格罗莫夫双曲组和直角阿廷组。

凸几何

凸几何研究欧几里得空间中的凸形及其更抽象的类似物，通常使用实分析和离散数学技术。它与凸分析、最优化和泛函分析以及数论中的重要应用密切相关。

凸几何可以追溯到古代。阿基米德给出了已知的第一个关于凸性的精确定义。等周问题是凸几何中经常出现的概念。阿基米德、柏拉图、欧几里德以及后来的开普勒、考克斯特都研究过凸多面体及其性质。从19世纪开始，数学家们开始研究凸数学的其他领域，包括高维多面体、凸体的体积和表面积、高斯曲率、算法、镶嵌和格。