DNF：要升级公会这个NPC吗？ 论公会增幅buff对增幅的影响

公会buff对增幅的成功率为加算5%，只在增幅等级7及以下生效，今天我们来算一算公会buff对增幅的影响究竟有多大。

设增幅等级为 x 时所需增幅器的数学期望为 f(x)，当前增幅等级的基础成功率为 p(x)
当 x≤4 时，成功率为100%，f(x)=x

当 5≤x≤7 时，平均每个增幅 (x-1) 再增幅一下可以得到 p(x) 个增幅 x 和 (1-p(x)) 个增幅 (x-2)，即
f(x-1)+1=p(x)*f(x)+(1-p(x))f(x-2)，即
f(x)=(f(x-1)-f(x-2)+1)/p(x)+f(x-2)
在有公会buff的情况下，成功率变为 (p(x)+0.05)，此时 f(x)=(f(x-1)-f(x-2)+1)/(p(x)+0.05)+f(x-2)
因此 f(5)=(f(4)-f(3)+1)/(p(5)+0.05)+f(3)=(4-3+1)/0.85+3=5.3529
f(6)=7.1372
f(7)=9.6365

当 8≤x≤10 时，平均每个增幅 (x-1) 再增幅一下可以得到 p(x) 个增幅 x 和 (1-p(x)) 个增幅 (x-4)，即
f(x-1)+1=p(x)*f(x)+(1-p(x))f(x-4)，即
f(x)=(f(x-1)-f(x-4)+1)/p(x)+f(x-4)
此时公会buff不生效
因此 f(8)=(f(7)-f(4)+1)/p(8)+f(4)=(9.6365-4+1)/0.7+4=13.4807
f(9)=20.5659
f(10)=35.9945

当 x>10 时，平均每个增幅 (x-1) 再增幅一下可以得到 p(x) 个增幅 x，即
f(x-1)+1=p(x)*f(x)，即
f(x)=(f(x-1)+1)/p(x)
因此 f(11)=(f(10)+1)/p(11)=(35.9945+1)/0.4=92.48
f(12)=311.62
f(13)=1563.106
……

结论：公会buff对于红7的难度降低1-9.6365/10.6190=9.25%
对于红10的难度降低1-306.13/345.35=10.11%
对于红12的难度降低1-306.13/345.35=9.76%



Q：为什么公会buff只对增幅7及以下有效，相对难度（公会buff下的数学期望和原数学期望的比值）却在红10达到最小值？
A：因为红10以下可以反复横跳，所以红8 红9 红10都会受到公会buff的影响。

Q：既然公会buff对红10以上没有影响，为什么相对难度却从红10开始触底反弹？
A：设原数学期望为 f1(x)，公会buff下的数学期望为 f2(x)，当 x>10 时，
f2(x)/f1(x)=((f2(x-1)+1)/p(x))/((f1(x-1)+1)/p(x))=(f2(x-1)+1)/(f1(x-1)+1)，
同时给分子分母加上一个常数，分数会更加接近1，
但当分子和分母都足够大的时候，常数就可以忽略不计，相对难度就会趋向于一个固定值0.9026

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