帽子中的兔子攻略（魔术师帽子里的兔子——神秘而又狡猾的图形）

无穷切割巧克力（神秘的出现）

"无限吃巧克力"是在网络上广泛流传的一个小游戏，游戏为我们展示了一个看起来不可思议的"吃巧克力"的方法，原本普通的矩形巧克力块经过切割、移动、重新组合，竟然比原巧克力多出来一块，如此循环下去，岂不是会无限循环?

其实，"无限吃巧克力"是一个利用人的错觉而搞出来的小把戏，只是重组过程中细微的变化不易察觉而已。

原理：障眼法而已。实际上，被切割出来的巧克力块在表面上看似乎可以互相"天衣无缝"地拼合起来，但是，只是因为斜割的坡度相同而已，最终拼凑成的矩形比起最初的矩形要矮一小截，而这几个缺失的"一小截"的面积恰好就是多出来的一个整块的面积，巧克力不可能凭空增加，这一切只是视觉上的一种错位而已。

通过计算看数学原理：

如上图，这里用的是4a×4b的图更是容易看出端倪，实际上拿走一块巧克力后的边长就是

4a×CB,而CB的长度是可由AD-AE求得，由HG:EB=HA:EA,所以AE=(a÷4a)×b=b/4,即是后来的图形边长由原来的4b变成了4b-b/4=15b/4.

而被割去是个平行四边形AGPE,它的面积是AE×HG=(b/4)×4a=ab,正好是一块小矩形的面积。

思考：

①这个游戏只能做一次，因为第二次的切割出的那块巧克力的面积已经不等于ab了，如此下去每次切割出的巧克力的大小都是不一样的，如果还是用原图的话，一定会露馅的，长溜河边一定会湿鞋的，切记！

②每次切割出的巧克力可以构成一个等比数列，可以自己去算算它的公比是多少？这是比较简单的。

③从上面的图还可以看到，巧克力是4×6，实际上那个6是4就够了，由此推论5×5,6×6是否也可以无限切割呢？即是不是只有如图一种呢？这个答案留给聪明的你自己去解决吧！

神秘的失踪

如果说上面的无穷切割巧克力，多出那块巧克力是个神秘的出现，神秘的出现意味着原来的减少；下面在给大家展示一个无穷的失踪，或者说神秘的失踪，它告诉我们原来换一种操作可以让原来的图形变大。你把它改成巧克力的话，自己做一做，肯定是其乐无穷啊！如果展示给你的小伙伴，一定会大获成功的。

按照下图所示,把一个正方形分割成7×7=49个小方格,或者用现成的方格纸(文具店里可以随时买到)更为方便。原图可以分为甲、乙、丙、丁、戊五块。现在加以重新组合。甲块原地不动,乙、丙两块左、右调动;再将丁戊两块平移并改变为上、下位置。

经过这样重新调动与组合,拼成右图的正方形时,怪事出现了:中间竟然露出了一个空洞。也就是说,有一个小方格竟然莫名其妙地失踪了！最平凡、最简单的调动居然能使一件小东西不知去向,你知道它的真相吗？

实际上,这也不过是一个小戏法,原理和上面大同小异。它的始作俑者是美国纽约州的一位魔术师保罗·柯里,他利用数字跟大家开了个不大不小的玩笑,确实令人眼花缭乱,从而起到了戏剧性的效果。

其实,上面的右图并不是一个真正的正方形、现在假定左图正方形的长为a,很明显,△ADE与△ABC是相似三角形,因而DE: BC=AD: AB

于是 DE=（2/7）a×(4/7)=(8/49)a,

EF=ED +DF=(8/49)a+(4/7)a=(36/49)a

右图那个所谓“正方形”的一边之长为

（2/7）a+(36/49)a=(50/49)a

也就是说,稍稍比a长了一些,但人的肉眼是很难看出这个细微差别的。至于另一边的长,当然仍是a,所以右图其实是个长方形。而难以觉察的变化所造成的面积之差

(50/49)a^2-a^2=(1/49)a^2

就是那个神秘失踪的小正方形了!

换句话说,右图其实比左图的面积稍为大一些,减去中间的那个空洞面积,两者就完全一致了。

思考：我们可以如“无限切割巧克力”一样，同样提出那三个问题，因为二者的本质是相同的，这里不再赘述，有兴趣的朋友可以自己推推看。

魔术师的地毯

笔者在拙作魔术师帽子里的兔子：斐波那契数列中提到这样的问题：

一位魔术师拿着一块长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！（如下图）

如果你真的用手去拼接的话，会发现其中的问题：矩形中间是有缝的，换句话说即是“对角线”不是直线，是拼接的四边形。这里面巧妙的利用了斐波那契数列的一个性质：

如果要求面积不变，要如何切割呢？如下图，我们有

解得

所以实现完全剪接的充要条件就是上述的这个结果，就是黄金分割。

戏法人人会变,各有巧妙不同

俗话说“戏法人人会变,各有巧妙不同”。再看一个例子:下图是一个等腰三角形,由9部分组合而成：4个直角三角形、4个矩形和1个正方形(为了醒目起见,我们特别用阴影标明,并称之为“洞”)。图上各线段的尺寸,也已经一一注明。

现在请你把图上8个区域的面积算一算,求出它们的总和,但特别关照:那个小洞的面积不要算进去。

计算面积当然是很轻松的,连小学生也会做,不是吗?结果如下

(1/2) ×20×16+2×(1/2) ×6×10+6×9+2×11×4+6×9=160+60+54+88+54=416

再来算一下整个等腰三角形的面积,由于PQ=32,而三角形的高16+10=26,于是三角形的面积就等于32×26=416

两个答数居然是一样的,不管有洞没洞,答案竟然相同,岂非咄咄怪事!问题究竟出在哪里？

中国有句老古话:“耳听为虚,眼见为实”。然而眼见的事情有时也未必可靠,就本题而言,毛病就在于:我们的眼睛受骗了,其实M,N,P三点并不在同一直线上,用数学术语来说,即三点并不共线.

这可以用反证法来推证。要是M,N,P三点共线,则∠MNT=∠NPR,于是两个直角三角形MNT与NPR是相似三角形，从而对应边应该成比例,也就是

MT: NT=NR :PR

然而8:5=1.6,而5:3-1.66…两个比值虽然相差甚微,但却是不相等的,由此推翻了M,N,P三点共线的结论,同样,右侧的M,O,Q点也不在同一直线上。

实际上,这个图形根本不是什么等腰三角形,而是一个五边形,它的五条边是MN,NP,PQ,QO与OM,你用三角形面积公式来计算,当然就大错特错了

魔术师的“帽子戏法”纵然被拆穿了西洋镜,但其手法却仍然令人赞叹不已。因为铅笔、直尺等绘图工具本身就存在着误差,即使你“一本正经”地认真画图也很难发现三点并不是真正落在一直线上的。

数学≈魔术

如果说数学=魔术，这话虽说有些夸张，但是它们之间确实存在着一定的共性：它们都需要用出人意料的技巧，揭露表面现象的迷惑,得出隐藏在幕后的真相。数学家就是大自然魔术的分析师，是魔术师中的“魔术师”，而教师就是揭示魔术巧妙机巧的那个讨厌而又可爱的孩子。

狄康尼斯

当今世界上真的存在着职业魔术师出身的著名数学家,他就是美国斯坦福大学(世界名牌大学之一)的数学教授P.狄康尼斯( Persi Diaco-nis)。

1945年，狄康尼斯出生于一个音乐世家。5岁那年狄康尼斯接触到了一本关于魔术的书，无师自通地开始自学魔术。14岁，一位著名的魔术师力邀他做自己的助手，一起行走江湖。这是他无法拒绝的诱惑,于是我们的小天才离家出走，开始了自己的魔术师生涯。18岁，为了防止在赌场被骗，少年魔术师狄康尼斯买了一本关于概率论的书，而这本书就是费勒的《概率论及其应用》但是他却沮丧地发现：他无法看明白书中的内容。于是他决定离开心爱的魔术表演，重返原来的学校学习夜间数学课，这一年，他已经21岁了

起初，戴康尼斯表现得非常平庸，微积分教授甚至说他很笨拙。但仅仅9个月后，戴康尼斯就在众多学生中间崭露头角，甚至开始准备申请哈佛大学的研究生资格，三年后，他被哈佛大学录取为统计方向的研究生。

在上夜校的期间（21～24期间），读书期间，戴康尼斯曾把自己的两个纸牌游戏技巧投稿到《科学美国人》。碰巧被数学家兼科普作家马丁·加德纳看到了，他觉得这两个纸牌游戏实在太精彩了，直接就给哈佛大学写了一封推荐信，恰逢当时哈佛大学的统计学家弗雷德·莫斯特勒正在搞魔术研究，于是双方一拍即合，戴康尼斯顺利成为哈佛大学的研究生——这是当时第一个从纽约城市大学的夜校进入哈佛的研究生院的学生。

狄康尼斯对数学的兴趣一发而不可收,他打算再攻读博士学位,想进美国最好的哈佛大学研究生院。在哈佛的研究院里干得不错，他用5年的时间拿下了博士学位。有了学位，事情就好办多了，因为“如果你获得了一个博士学位，你就能去做个教授，而教授的位置显然比魔术师要稳定得多。”成了一个数学家，你还可以堂而皇之地打着研究数学的名号去玩魔术——我们把这叫作研究魔术中的数学。

1992年，戴康尼斯和哥伦比亚大学的戴夫·拜耳合作，为交叉洗牌法建立了一个数学模型。

证明至少要洗7次牌才能确保整副牌真正混散，也就是每张牌都是随机出现的，即是说：大约需要8次以上才能使扑克牌随机，而且洗的次数增多，效果并不会变得更好。

56张扑克牌，抽掉大小王各两个，变成52张。把52张牌均匀地分成两叠，按照下列规则洗牌：保持你的第一张牌和最后一张牌位置不变，每隔一张插入一张。8次洗牌之后，奇迹出现了，扑克牌的顺序又回到了原来的状态。事实上，如果有个手脚伶俐的赌徒可以按照上述方法洗牌，他每次洗牌之后，第一张和最后一张位置不变，第18张和35张牌位置互换，另外的48张牌则在6个区域内循环——每个区域8张，转一圈就回来了。

戴康尼斯的另一个成就是：他与说明了从高处跌下的猫为什么能以脚着地的理查德·蒙哥马利合作，证明了抛硬币哪面向上，物理因素比运气重要得多。而实际上，抛硬币的正反面概率更接近于51/49，掷币时哪面朝上最后那面朝上的概率就大。可见，即使抛硬币这样的事情也是天时、地利、人和一个也不能少。

戴康尼斯的故事告诉我们，即使天才也不可能生而知之。这样，愚钝如我们便可以假装天才只是选择了一个符合自己兴趣的方向进行努力，而我们只是找不到那个方向而已，你说真的是这样的吗？

生话只馈赠那些为之努力拼搏的人！