房间x攻略（用化妆舞会来说明如何用函数的奇偶性求解析式）

先看题： 若函数f（x）在R上为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-x，则当x＜0时，求f（x）。

分析：这是用函数奇偶性求解析式的的典型题，有两种做法，一种是代数法：通过奇函数和不等式的性质，求出f（x），稍显枯燥，下面刘老师教同学们用“化装舞会”的方法来求解。一种是几何法：通过图像的对称变换来求f（x），较为简单。今天先说代数法（化装舞会）：

①由题意可知，当x＞0时，f（x）=x²-x， 那么x＜0时，f（x）还是x²-x吗？ 在没有依据的情况下，我们不敢贸然说是，为什么呢？这样理解，如果把x＞0和x＜0比做两个房间的话，这道题的意思就是说房间x＞0住着客人x²-x，然后我们需要求出房间x＜0住的客人是谁，因为这两个房间的客人没有任何关系，所以我们无法通过一号房间得知二号房间的客人是谁。

②若真没有关系倒好，我们可以很无辜地对老师说题出错了,然后就不用做了，可是题目中偏偏告诉我们f（x）是个奇函数，奇函数是个什么东西？它有一个著名的特征：-f（x）=f（-x）。这个关系式有什么用呢？仔细观察，我们发现这个关系式中的两个括号内既有x又有-x，也就是说x和-x被这个关系式联系起来了，这又说明了什么? 很显然，说明我们只要知道x，就可以求出-x，或者说只要知道-x，就可以求出x，这就是奇函数的奥秘。下面开始化妆舞会游戏：

③当x＞0时，f（x）=x²-x，我们不妨把x看做白马王子，f（x）=x²-x看作热闹的化装舞会，只有白马王子才可以参加化装舞会，那么白马王子的标准是什么呢？必须要满足x＞0，或者说满足＞0的数才是白马王子。

④现在的问题是x＜0，那么怎么让x大于0呢，很简单，只需要给x＜0两边同乘-1即可得到：-x＞0，如果我们把x看做青蛙小子的话，那么-x就是青蛙小子化妆后的白马王子，为什么要化妆呢？刚说过，只有白马王子才可以参加化装舞会。

⑤现在,x伪装后的-x可以大摇大摆地进入舞会现场：f（x）=x²-x，要注意的是，x是以-x的身份进去的，所以它一直要以-x的面目示众，并且再也没有反悔的机会，即:f(-x)= (-x)²-(-x).

⑥在舞会玩了许多天后，-x才想起它的本来面目是x，恰巧x所属的函数有一个神奇的性质：- f（x）=f（-x），在这个关系式中，-x和x通过“f”和“=“遥遥相望，泪眼婆娑，这时，-x才记起它最初的面目是x，并且它的使命是求f（x），而非f（-x），那么f（x）和f（-x）有什么关系呢？ 就是 - f（x）=f（-x），即:f（x）= - f（-x）= - [(-x)² - ( - x)]= - x²-x。结束。

⑦这道题的关键在于奇函数这三个字，再直白一点就是因为-f（x）=f（-x）这个等式，若没有这个等式连接x和-x，我们是无法通过x＞0的解析式求出x＜的的解析式的。

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